Ai două variabile calitative și vrei să știi dacă una are legătură cu cealaltă. Poate ai chestionat 200 de pacienți dintr-un spital și ai notat pentru fiecare dacă fumează (da sau nu) și dacă are un anumit diagnostic (da sau nu). Cifrele din tabelul de contingență arată diferit de la o grupă la alta, dar diferența e reală sau e doar zgomotul de eșantionare? Exact la întrebarea asta răspunde testul chi-pătrat de independență. Este testul standard pentru asocierea dintre variabile categoriale și apare peste tot, de la sănătate publică la studiile de piață.
Ce măsoară testul chi-pătrat
Testul compară ce ai observat efectiv în date cu ce te-ai fi așteptat să vezi dacă cele două variabile nu ar avea nicio legătură. Să spunem că 80 dintre cei 200 de pacienți fumează și 60 au diagnosticul. Dacă fumatul și boala ar fi independente, în celula fumători-cu-boală te-ai aștepta la (80 × 60) / 200 = 24 de persoane. Testul calculează această frecvență așteptată pentru fiecare celulă a tabelului, apoi măsoară cât de departe cad frecvențele observate față de cele așteptate.
Formula e directă. Pentru fiecare celulă iei diferența dintre frecvența observată și cea așteptată, o ridici la pătrat și o împarți la frecvența așteptată. Aduni valorile din toate celulele și obții statistica chi-pătrat, χ². Un χ² mare înseamnă că datele observate se abat serios de la ce ar prezice independența. Un χ² mic înseamnă că cele două variabile se comportă cam ca și cum n-ar fi legate.
Testul are două variante. Testul de independență verifică dacă două variabile categoriale sunt asociate într-un singur eșantion. Testul de concordanță verifică dacă o singură variabilă categorială urmează o distribuție anume (de pildă, dacă un zar dă fețele în proporții egale). Articolul de față se ocupă de testul de independență, pentru că el apare în cele mai multe lucrări de licență și disertații. Dacă nu ești sigur că testul chi-pătrat e potrivit pentru studiul tău, ghidul de alegere a testului te duce pas cu pas prin decizie.
Cum citești rezultatele testului chi-pătrat
SPSS, R și mai toate programele statistice scot aceleași cifre de bază. Vezi valoarea χ², gradele de libertate și valoarea p. Gradele de libertate ale testului de independență se calculează ca (rânduri − 1) × (coloane − 1). La un tabel 2×2, ca fumat × boală, iese (2 − 1)(2 − 1) = 1. Un tabel 3×4 ar avea (3 − 1)(4 − 1) = 6. Gradele de libertate contează, fiindcă forma distribuției chi-pătrat se schimbă cu fiecare valoare a lor, iar asta mută pragul la care valoarea p devine semnificativă.
În formatul APA, rezultatul se scrie așa: χ²(1, N = 200) = 12,34, p < 0,001. Cifra din paranteză sunt gradele de libertate, N este volumul eșantionului, iar valoarea p îți spune dacă asocierea este semnificativă statistic. Raportezi întotdeauna valoarea p exactă (de exemplu p = 0,003), cu excepția situației în care coboară sub 0,001. Despre cum citești și interpretezi corect valoarea p ai un articol separat, interpretarea valorii p.
Condițiile de aplicare și când se rup
Testul chi-pătrat are mai puține condiții decât testele parametrice, dar cele pe care le are sunt stricte. Cea care se încalcă cel mai des ține de frecvențele așteptate. Fiecare celulă din tabelul de contingență trebuie să aibă o frecvență așteptată de cel puțin 5. Nu frecvența observată. Frecvența așteptată, cea pe care o calculezi ca (total pe rând × total pe coloană) / total general. Dacă măcar o celulă coboară sub 5, aproximarea chi-pătrat devine șubredă și valoarea p nu mai e de încredere.
Când frecvențele așteptate scad sub 5 într-un tabel 2×2, treci la testul exact al lui Fisher. Testul lui Fisher nu se sprijină deloc pe aproximarea chi-pătrat: calculează probabilitatea exactă de a obține tabelul observat (sau unul mai extrem) sub ipoteza nulă. SPSS afișează valoarea lui Fisher automat, lângă rezultatul chi-pătrat, ori de câte ori rulezi un tabel 2×2, deci n-o ceri separat. Pentru tabele mai mari de 2×2 cu frecvențe mici, ai putea comasa categoriile ca să urci numărul de cazuri. Subiectul e tratat pe larg în articolul despre frecvențele așteptate mai mici de 5.
A doua condiție este independența observațiilor. Fiecare participant sau caz apare într-o singură celulă. Dacă același pacient poate fi numărat și în celula „fumător cu boală”, și în „fumător fără boală”, la momente diferite, observațiile nu mai sunt independente și testul devine nevalid. Se întâmplă mai des decât ai crede, mai ales în studiile longitudinale sau în cele cu măsurători repetate pe aceiași oameni.
A treia condiție: chi-pătrat cere date categoriale. Ambele variabile trebuie să fie nominale sau ordinale, cu un număr limitat de categorii. O variabilă continuă, cum e vârsta în ani, nu poate fi băgată direct în test. Ar trebui întâi grupată în categorii (de exemplu 18–30, 31–45, 46+), iar decizia de grupare e rareori neutră: numărul de categorii și pragurile alese îți schimbă rezultatul. În plus pierzi informație, deci nu tăia o variabilă continuă în felii doar ca s-o poți încadra într-un tabel.
Mărimea efectului: V al lui Cramér și phi
Un rezultat semnificativ îți spune că asocierea există. Nu-ți spune cât de puternică e. La N = 2.000, până și o asociere neglijabilă produce o valoare p semnificativă. Ai nevoie de o mărime a efectului, iar pentru testul chi-pătrat aceasta este V al lui Cramér.
V al lui Cramér ia valori de la 0 (nicio asociere) la 1 (asociere perfectă). Pentru tabelele 2×2, V este egal cu valoarea absolută a coeficientului phi (φ), deci cele două sunt interschimbabile în acel caz. Pentru tabele mai mari se folosește doar V. Pragurile lui Cohen pentru V la un tabel 2×2 sunt 0,10 (mic), 0,30 (mediu) și 0,50 (mare). La tabelele mai mari, pragurile scad: la un tabel 3×3, 0,07 e mic, 0,21 e mediu, 0,35 e mare. Verifică mereu dimensiunea minimă a tabelului (numărul mai mic dintre rânduri și coloane, minus 1) când interpretezi V, fiindcă pragurile depind de ea.
În exemplul cu fumatul și boala, V = 0,25 la un tabel 2×2. Cade între pragul mic (0,10) și cel mediu (0,30), deci descrii asocierea ca fiind de la mică spre medie. O raportezi așa: χ²(1, N = 200) = 12,34, p < 0,001, V = 0,25. Mulți studenți sar peste mărimea efectului cu totul, iar coordonatorii semnalează constant omisiunea. Despre ce mărime a efectului alegi pentru fiecare test și de ce contează, citește ghidul despre mărimea efectului.
Chi-pătrat față de alte teste pentru date categoriale
| Aspect | Testul chi-pătrat | Testul exact al lui Fisher | Testul McNemar |
|---|---|---|---|
| Ce verifică | Asocierea dintre două variabile categoriale | La fel ca chi-pătrat, dar prin calcul exact | Schimbarea unei variabile dihotomice (date perechi) |
| Dimensiunea tabelului | Oricare (2×2, 3×4 etc.) | De regulă 2×2 (există extinderi pentru tabele mai mari) | Doar 2×2 |
| Frecvență așteptată minimă | ≥ 5 în fiecare celulă | Fără prag minim | Suma celulelor discordante ≥ 10 (regulă practică) |
| Independența observațiilor | Observații independente | Observații independente | Observații perechi sau împerecheate |
| Mărimea efectului | V al lui Cramér, phi (φ) | Raportul șanselor | Raportul șanselor |
| Când îl folosești | Eșantioane mari, toate frecvențele așteptate ≥ 5 | Eșantioane mici sau celule cu frecvență așteptată < 5 | Măsurători înainte–după sau perechi împerecheate |
Un exemplu lucrat
O studentă la nursing adună date de la 200 de pacienți dintr-un spital județean. Notează pentru fiecare dacă e fumător curent (da sau nu) și dacă a fost diagnosticat cu o anumită boală respiratorie (da sau nu). Tabelul de contingență arată astfel: 80 de fumători, 120 de nefumători, 60 de pacienți cu boala, 140 fără ea.
Calculează frecvențele așteptate. Pentru celula fumător-cu-boală: (80 × 60) / 200 = 24. Pentru fumător-fără-boală: (80 × 140) / 200 = 56. Nefumător-cu-boală: (120 × 60) / 200 = 36. Nefumător-fără-boală: (120 × 140) / 200 = 84. Toate patru trec de 5, deci condiția testului chi-pătrat e îndeplinită.
Aplicând testul în SPSS (Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs, cu Chi-square și Cramer's V bifate), obține χ²(1, N = 200) = 12,34, p < 0,001, V = 0,25. În capitolul de rezultate scrie: „Testul chi-pătrat de independență a evidențiat o asociere semnificativă între statutul de fumător și diagnostic, χ²(1, N = 200) = 12,34, p < 0,001, V al lui Cramér = 0,25, ceea ce indică un efect de la mic spre mediu.” E o frază curată, conformă cu APA. Pașii compleți din program, cu tabelele și capcanele lor, îi ai în ghidul despre testul chi-pătrat în SPSS.
Greșeli de evitat
Prima și cea mai frecventă greșeală este aplicarea testului chi-pătrat pe date continue. O vedem regulat: studentul ia vârsta (în ani), venitul (în lei) sau un scor la un test (pe o scală de la 0 la 100) și încearcă un chi-pătrat. Testul are nevoie de numărul de cazuri care cad în categorii distincte. Variabilele continue cer test t, ANOVA sau corelație, în funcție de întrebarea de cercetare. Compari medii? Vrei un test t sau ANOVA. Cauți relația dintre două variabile continue? Vrei o corelație sau o regresie.
A doua greșeală este să ignori condiția frecvențelor așteptate. Studentul rulează un chi-pătrat pe un tabel 2×2 în care o celulă are frecvența așteptată 2,8. SPSS chiar tipărește un avertisment sub tabel („1 cells (25,0%) have expected count less than 5”). Mulți fie nu-l citesc, fie nu știu ce să facă. Soluția e simplă: raportezi testul exact al lui Fisher, pe care SPSS îl pune chiar lângă rezultatul chi-pătrat în orice tabel 2×2.
A treia: să nu raportezi mărimea efectului. Un chi-pătrat semnificativ îi spune cititorului că variabilele sunt asociate, dar nu și cât de strâns. Un χ² de 6,2 la N = 50 înseamnă cu totul altceva decât un χ² de 6,2 la N = 5.000. V al lui Cramér standardizează rezultatul, ca cititorul să judece cât de importantă e asocierea în practică. Am verificat peste 300 de lucrări de studenți, iar lipsa mărimii efectului e printre primele cinci observații pe care le fac coordonatorii.
A patra: să confunzi chi-pătrat cu testele pentru date ordinale. Dacă variabila ta categorială are o ordine firească (de exemplu nivelul de studii: liceu, licență, master, doctorat), un chi-pătrat obișnuit ignoră complet ordinea. Tratează categoriile ca etichete fără succesiune. Pentru asocieri ordinale, testul liniar-cu-liniar sau coeficientul d al lui Somers pot fi mai potrivite și mai puternice, fiindcă prind tendințe pe care chi-pătrat le ratează.
De reținut: testul chi-pătrat de independență verifică dacă două variabile categoriale sunt asociate, comparând frecvențele observate cu cele așteptate sub independență. Îl raportezi ca χ²(df, N) = valoare, p = valoare, și incluzi mereu V al lui Cramér (sau phi la tabelele 2×2) ca mărime a efectului. Verifică să ai toate frecvențele așteptate de cel puțin 5; dacă nu, folosește testul exact al lui Fisher pentru tabelele 2×2. Nu aplica niciodată chi-pătrat pe variabile continue.
Întrebări frecvente
Pot folosi testul chi-pătrat pe un eșantion mic?
Doar dacă frecvențele așteptate sunt suficient de mari. Regula uzuală cere ca cel mult 20% dintre celule să aibă o frecvență așteptată sub 5, iar nicio celulă să nu coboare sub 1. Când regula nu e respectată, treci la testul exact al lui Fisher, mai ales pentru un tabel 2×2.
Ce sunt frecvențele așteptate la testul chi-pătrat?
Sunt numărul de cazuri pe care le-ai vedea în fiecare celulă dacă cele două variabile ar fi complet independente. Fiecare se calculează ca (total pe rând × total pe coloană) / total general, iar statistica χ² măsoară cât de mult se abat frecvențele observate de la aceste valori.
Ce mărime a efectului raportez la testul chi-pătrat?
Coeficientul phi pentru tabelele 2×2 și V al lui Cramér pentru tabelele mai mari. Ambele iau valori de la 0 la 1, cu praguri de aproximativ 0,10 pentru un efect mic, 0,30 pentru unul mediu și 0,50 pentru unul mare, la un tabel cu un singur grad de libertate.