Aplici un test t pe datele din lucrare, raportezi o valoare p frumoasă, iar coordonatorul ți-o trimite înapoi cu o singură observație: „Ai verificat normalitatea?” Majoritatea testelor parametrice presupun că datele urmează o distribuție normală. Sari peste verificarea asta și tot ce urmează stă pe o temelie neverificată. Iată exact cum o testezi, cum citești rezultatele și ce faci când normalitatea nu se confirmă.
De ce contează normalitatea
Testele parametrice, cum sunt testul t pentru eșantioane independente, testul t pentru eșantioane perechi, ANOVA unifactorială, corelația Pearson și regresia liniară, se bazează toate pe presupunerea unei distribuții normale. Matematica din spatele lor calculează probabilități folosind proprietățile curbei normale. Când datele se abat prea mult de la forma aceea, valorile p devin nesigure. Un test ar putea raporta p = 0,04 când probabilitatea reală, dată fiind distribuția efectivă, e mai aproape de 0,09.
Asta nu înseamnă că datele trebuie să formeze un clopot perfect. Normalitatea perfectă aproape nu apare la măsurători reale. Ce contează e dacă abaterea e destul de severă cât să-ți distorsioneze concluziile. O asimetrie ușoară pe un eșantion de 120 de participanți e de regulă inofensivă. Un efect de podea care îngrămădește 40% dintre scoruri la zero, pe un eșantion de 25, e o problemă. Instrumentele de mai jos te ajută să faci distincția.
Testul Shapiro-Wilk
Shapiro-Wilk este testul statistic standard pentru normalitate și cel pe care mai toate comisiile se așteaptă să-l vadă. Merge bine pentru eșantioane de până la vreo 2.000. Peste atât, ai putea folosi Kolmogorov-Smirnov cu corecția Lilliefors, deși în practică mai toate fișierele de studenți sunt mult sub pragul acela.
Logica e simplă, dar invers față de ce se așteaptă studenții. Ipoteza nulă spune că datele sunt normal distribuite. Deci un rezultat nesemnificativ (p > 0,05) este ce vrei să obții: înseamnă că nu ai destule dovezi ca să respingi normalitatea. Un rezultat semnificativ (p < 0,05) îți spune că distribuția se abate de la normal.
În SPSS obții testul Shapiro-Wilk prin Analyze > Descriptive Statistics > Explore. Muți variabila în Dependent List, apeși Plots, bifezi Normality plots with tests, apeși Continue și apoi OK. Tabelul de rezultate arată două coloane: statistica de test W și valoarea p (etichetată Sig.). Ia două exemple dintr-o lucrare reală. Într-o grupă, scorurile de anxietate au dat W = 0,96, p = 0,24. Cum p e peste 0,05, normalitatea se menține și testele parametrice sunt potrivite. În cealaltă grupă, aceeași variabilă a dat W = 0,88, p = 0,003. Valoarea p e sub 0,05, deci normalitatea se respinge și e nevoie de o alternativă neparametrică. Aplicația Academic Stats Agent face aceste verificări automat și îți semnalează condițiile încălcate în raport.
O atenționare: la eșantioane foarte mari (n > 300), Shapiro-Wilk devine exagerat de sensibil. Până și abaterile neînsemnate de la normalitate produc o valoare p semnificativă. La eșantioane foarte mici (n < 10), testul are putere scăzută și poate rata o abatere reală. De asta testul statistic singur nu e de ajuns. Ai nevoie și de verificări vizuale.
Verificări vizuale: graficul Q-Q, histograma și diagrama-cutie
Un grafic Q-Q (quantile-quantile) compară cuantilele datelor tale cu cuantilele unei distribuții normale teoretice. Dacă datele sunt normale, punctele cad de-a lungul dreptei de referință. Citirea lui durează vreo trei secunde odată ce cunoști tiparele.
Punctele care se lipesc strâns de diagonală indică normalitatea. O curbă care se ridică peste dreaptă la mijloc și coboară sub ea la capete semnalează asimetrie pozitivă. Curba inversă, sub dreaptă la mijloc și peste la capete, semnalează asimetrie negativă. Un tipar în formă de S, în care punctele se desprind la ambele capete, indică cozi grele (boltire în exces), adică valorile extreme apar mai des decât ar prezice o distribuție normală. În SPSS, aceeași procedură Explore care îți dă Shapiro-Wilk generează și graficul Q-Q când bifezi Normality plots with tests.
Histogramele sunt mai puțin precise, dar utile pentru o privire rapidă, mai ales când prezinți rezultatele unor coordonatori care nu se simt în largul lor cu graficele Q-Q. Suprapune o curbă normală (în SPSS: dublu-clic pe histogramă, apoi Elements > Show Distribution Curve) și caută asimetrii evidente sau vârfuri multiple. Diagramele-cutie scot la iveală valorile extreme și direcția asimetriei dintr-o privire: o linie a medianei departe de centrul cutiei sau mustăți de lungimi mult diferite arată că distribuția nu e simetrică.
Valorile de asimetrie și boltire
Asimetria măsoară lipsa de simetrie. O valoare de 0 înseamnă distribuție perfect simetrică. Valorile pozitive arată o coadă dreaptă care se întinde mai mult; cele negative, o coadă stângă. Boltirea măsoară cât de grele sunt cozile față de o distribuție normală. O valoare de 0 (după definiția boltirii în exces, pe care SPSS o raportează implicit) înseamnă cozi la fel ca la curba normală; valorile pozitive înseamnă cozi mai grele; cele negative, cozi mai ușoare.
Pragurile citate cel mai des vin de la Curran, West și Finch (1996): o asimetrie în valoare absolută sub 2 și o boltire în valoare absolută sub 7 arată că distribuția e destul de aproape de normal pentru ca metodele parametrice să lucreze bine. Mulți cercetători aplică o regulă mai strictă pentru asimetrie, tratând valorile peste 1 în valoare absolută ca semnal de alarmă. În practică, observăm că, atunci când asimetria în valoare absolută cade între 1 și 2, ar trebui să te uiți cu atenție la graficul Q-Q înainte să decizi. Dacă eșantionul e mare (n > 100) și graficul Q-Q arată rezonabil, testele parametrice vor rezista de regulă. Dacă eșantionul e mic și asimetria trece de 1, treci la un test neparametric.
Ambele valori le obții din Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives în SPSS. Apeși Options și bifezi Skewness și Kurtosis. Rezultatul îți dă statistica și eroarea ei standard. Unele manuale mai vechi recomandă să împarți valoarea asimetriei la eroarea ei standard și să tratezi raportul ca pe un scor z, respingând normalitatea dacă valoarea absolută a lui z trece de 1,96. Abordarea e nesigură la eșantioane mari, fiindcă eroarea standard se micșorează și aproape orice asimetrie devine „semnificativă”. Rămâi la pragurile absolute.
Greșeala pe care o face aproape toată lumea
Iată eroarea pe care o vedem cam la una din patru lucrări care trec prin serviciul nostru. Studentul are trei grupe (să zicem un grup de control și două de intervenție). Adună toți cei 90 de participanți într-o singură variabilă și rulează un singur test Shapiro-Wilk. Rezultatul spune p = 0,001, așa că renunță la ANOVA și trece la Kruskal-Wallis.
Problema: a testat distribuția greșită. ANOVA nu presupune că întregul eșantion adunat e normal. Presupune normalitate în interiorul fiecărei grupe. Când combini grupe cu medii diferite, distribuția adunată arată adesea bimodală sau asimetrică, chiar dacă fiecare grupă în parte e perfect normală. Procedura corectă e să rulezi Shapiro-Wilk separat pentru fiecare grupă sau să testezi reziduurile modelului. În SPSS poți împărți fișierul după variabila de grupare (Data > Split File > Organize output by groups) înainte de Explore, sau poți pune variabila de grupare în Factor List chiar în Explore.
Același principiu se aplică la regresie. Nu testa variabila dependentă brută. Testează reziduurile. În SPSS, după ce rulezi regresia (Analyze > Regression > Linear), salvezi reziduurile nestandardizate (apeși Save, bifezi Unstandardized la Residuals), apoi rulezi Shapiro-Wilk pe variabila cu reziduurile salvate. Pentru mai multă îndrumare în alegerea testului potrivit designului tău, vezi ghidul de decizie pentru teste statistice.
Ce faci când normalitatea nu se confirmă
O verificare de normalitate ratată nu înseamnă că analiza ta e pierdută. Ai trei variante, iar cea potrivită depinde de situație.
Prima variantă e să treci la o alternativă neparametrică. Aceste teste nu fac nicio presupunere despre forma distribuției. Lucrează pe ranguri în loc de valori brute, ceea ce le face rezistente la asimetrie, la valori extreme și la non-normalitate. Compromisul e o pierdere modestă de putere statistică atunci când datele chiar sunt normale, de regulă între 5% și 15%, în funcție de test și de volumul eșantionului. Pentru o lucrare, compromisul e aproape mereu acceptabil. Cea mai folosită dintre aceste alternative, pentru comparația a două grupe, este testul Mann-Whitney. Tabelul de mai jos leagă fiecare test parametric obișnuit de corespondentul lui neparametric.
| Test parametric | Ce verifici | Alternativă neparametrică |
|---|---|---|
| Test t pentru eșantioane independente | Normalitatea în fiecare grupă (Shapiro-Wilk) | Mann-Whitney |
| Test t pentru eșantioane perechi | Normalitatea scorurilor-diferență | Testul rangurilor cu semn al lui Wilcoxon |
| ANOVA unifactorială | Normalitatea în fiecare grupă | Kruskal-Wallis |
| ANOVA cu măsurători repetate | Normalitatea la fiecare moment de măsurare | Testul Friedman |
| Corelația Pearson | Normalitatea bivariată (sau a fiecărei variabile) | Corelația de rang Spearman |
| Regresia liniară | Normalitatea reziduurilor | Regresie prin bootstrap sau transformare |
A doua variantă se sprijină pe teorema limitei centrale. Când volumul eșantionului trece de vreo 30 pe grupă, distribuția de eșantionare a mediei devine aproximativ normală, indiferent de distribuția populației. Asta înseamnă că testul t și ANOVA rămân rezonabil de precise chiar și cu date non-normale, atâta timp cât abaterea nu e extremă (o asimetrie puternică împreună cu grupe foarte inegale rămâne o problemă). Multe manuale citează n > 30 ca prag, dar ține minte că e un reper aproximativ, nu o garanție. Cu 35 de participanți pe grupă și o asimetrie moderată, ești probabil în regulă. Cu 31 de participanți pe grupă și o distribuție cu cozi foarte grele, s-ar putea să nu fii. Pentru o privire detaliată asupra acestor situații, vezi articolul despre datele care nu sunt normal distribuite.
A treia variantă e transformarea datelor. Transformările logaritmice, radical sau inverse pot reduce asimetria și pot apropia distribuția de normal. O recomandăm în general ca ultimă soluție pentru lucrările de studenți. Transformările schimbă scala variabilei, ceea ce face rezultatele mai greu de interpretat și mai greu de explicat la susținere. Dacă coordonatorul e de acord cu variabile transformate și domeniul tău are precedent pentru asta (datele de timp de reacție din psihologie, de exemplu, se transformă frecvent logaritmic), treci mai departe. Altfel, ruta neparametrică e mai simplă și mai ușor de apărat.
De reținut: rulează Shapiro-Wilk separat pe fiecare grupă (sau pe reziduurile modelului la regresie), confirmă cu un grafic Q-Q și verifică asimetria în valoare absolută sub 2 și boltirea în valoare absolută sub 7. Dacă normalitatea nu se confirmă, treci la alternativa neparametrică din tabelul de mai sus. La eșantioane peste 30 pe grupă, testele parametrice rămân adesea valide la abateri ușoare. Testează distribuția potrivită, nu eșantionul adunat.
Întrebări frecvente
Ce fac dacă datele mele nu sunt normal distribuite?
Ai trei variante principale: treci la un test neparametric (Mann-Whitney, Kruskal-Wallis, testul rangurilor cu semn al lui Wilcoxon), transformi variabila (de exemplu printr-o transformare logaritmică) sau, la abateri ușoare și cu vreo 30 de cazuri sau mai multe pe grupă, te sprijini pe teorema limitei centrale și păstrezi testul parametric.
Folosesc Shapiro-Wilk sau Kolmogorov-Smirnov pentru normalitate?
Shapiro-Wilk are putere mai bună pentru eșantioane mici și medii (cam sub 50) și e recomandarea standard. Kolmogorov-Smirnov cu corecția Lilliefors se folosește de obicei la eșantioane mari. Însoțește oricare dintre teste cu o verificare vizuală, cum e graficul Q-Q sau o histogramă.
Contează testele de normalitate la eșantioane mari?
Mai puțin decât cred studenții. La eșantioane mari, testele formale de normalitate marchează ca semnificative până și abaterile neînsemnate, în timp ce testele parametrice devin robuste la abaterile ușoare. Cu un eșantion de ordinul sutelor, judeci normalitatea din asimetrie, boltire și graficul Q-Q, nu din valoarea p a unui test de normalitate.