Regresia logistică pentru începători: un ghid practic

Variabila ta dependentă are două valori: absolvit sau abandonat, diagnosticat sau sănătos, a cumpărat sau nu a cumpărat. Tu aplici totuși o regresie liniară, fiindcă asta ai învățat prima. SPSS îți întoarce valori prezise de 1,3 și −0,2, cifre care n-au niciun sens pentru o variabilă codificată cu 0 și 1. Exact problema asta o rezolvă regresia logistică, iar noi o folosim cam în una din cinci lucrări care ne trec prin mână.

Când regresia liniară nu merge

Regresia liniară prezice rezultate continue. Produce o dreaptă, iar dreapta se poate întinde la infinit în ambele direcții. Când rezultatul e binar (codificat 0 și 1), trasarea unei drepte prin cele două valori naște trei probleme. Prima: valorile prezise nu rămân între 0 și 1, deci obții probabilități imposibile. A doua: reziduurile nu pot fi normal distribuite, fiindcă rezultatul ia doar două valori. A treia: varianța erorilor nu e constantă pe tot domeniul predictorului, ceea ce încalcă condiția de homoscedasticitate. Într-un fișier cu 200 de studenți la care rezultatul e „absolvit” (1) sau „abandonat” (0), regresia liniară ar putea prezice că un student cu media 9,7 are o probabilitate de 1,15 să absolve. Cifra nu înseamnă nimic.

Regresia logistică le rezolvă pe toate trei deodată. În loc să prezică rezultatul brut, prezice logaritmul șanselor (numit și logit) ca rezultatul să se producă. Funcția logistică transformă apoi acest logaritm al șanselor într-o probabilitate între 0 și 1. Nicio valoare imposibilă. Nicio condiție încălcată în privința reziduurilor, fiindcă regresia logistică folosește estimarea prin verosimilitate maximă, nu metoda celor mai mici pătrate. Dacă vii dinspre regresia liniară și vrei să vezi cum diferă cele două la nivelul tabelelor, articolul despre interpretarea regresiei multiple acoperă partea liniară în detaliu.

Cum funcționează regresia logistică

Modelul estimează probabilitatea ca rezultatul să fie 1 („evenimentul”), pornind de la un set de predictori. Ecuația arată așa: log(p / (1 − p)) = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂. Partea din stânga e logaritmul natural al șanselor. Partea din dreapta arată identic cu ecuația unei regresii liniare. Diferența e ce se întâmplă cu rezultatul: valoarea prezisă e un logaritm al șanselor, care se transformă în probabilitate prin funcția logistică.

Estimarea prin verosimilitate maximă înlocuiește metoda celor mai mici pătrate. În loc să minimizeze suma pătratelor reziduurilor (cum face regresia liniară), regresia logistică caută setul de coeficienți care face datele observate cât mai probabile. Algoritmul iterează până se oprește pe valorile cu cea mai bună potrivire. În practică, SPSS se ocupă singur de asta. Vei vedea în rezultate un tabel Iteration History, care arată cum s-a schimbat verosimilitatea la fiecare pas, de regulă cu convergență în 4–7 iterații pentru fișierele de dimensiunea unei lucrări.

Regresia logistică nu cere reziduuri normal distribuite, nu cere o relație liniară între predictori și rezultat și nu cere homoscedasticitate. Cere, în schimb, o relație liniară între fiecare predictor și logaritmul șanselor rezultatului, independența observațiilor și absența unei multicoliniarități severe între predictori. Despre cum se leagă corelația și regresia și de ce contează multicoliniaritatea, ai un articol separat.

Cum citești rezultatele din SPSS

SPSS scoate mai multe tabele când rulezi o regresie logistică binară. Fiecare răspunde la altă întrebare despre model. Iată la ce te uiți în fiecare.

Testul omnibus al coeficienților (Omnibus Tests of Model Coefficients) îți spune dacă modelul, cu predictorii lui, se potrivește mai bine decât un model fără niciun predictor (modelul nul). Raportează o valoare chi-pătrat cu grade de libertate și o valoare p. Dacă χ²(2) = 34,17, p < 0,001, modelul cu doi predictori e semnificativ mai bun decât hazardul. Este cam echivalentul testului F global din regresia liniară.

Testul Hosmer-Lemeshow verifică dacă modelul se potrivește bine cu datele. Spre deosebire de mai toate testele, aici vrei un rezultat nesemnificativ. O valoare p peste 0,05 înseamnă că probabilitățile prezise de model se potrivesc cu frecvențele observate. Dacă χ²(8) = 6,42, p = 0,601, modelul se potrivește acceptabil. Un rezultat semnificativ (să zicem p = 0,018) sugerează că modelul nu prinde tiparul din date și ar avea nevoie de predictori în plus sau de transformări.

R² Nagelkerke apare în tabelul Model Summary, alături de R² Cox & Snell. Ambele sunt valori pseudo-R². Nu sunt identice cu R² din regresia liniară. R² Nagelkerke ajustează valoarea Cox & Snell ca să poată atinge un maxim teoretic de 1,0, deci se interpretează mai ușor. Un R² Nagelkerke de 0,41 nu înseamnă „modelul explică 41% din varianță” în felul în care o face R²-ul liniar. Înseamnă că modelul acoperă vreo 41% din variația verosimilității față de modelul nul. Valorile între 0,20 și 0,40 sunt obișnuite în cercetarea din științele sociale, iar cele peste 0,50 sunt rare.

Tabelul de clasificare (Classification Table) arată câte cazuri a prezis modelul corect și câte greșit. Un model care prezice absolvirea ar putea încadra corect 156 din 200 de studenți (78,0% acuratețe globală). Tabelul defalcă asta pe grupe: poate 89,2% dintre absolvenți au fost preziși corect, dar doar 58,3% dintre cei care au abandonat au fost identificați. Asimetria e frecventă când grupele sunt inegale și contează, fiindcă un model care ar prezice „absolvit” pentru toată lumea tot ar atinge 70% acuratețe dacă 70% din eșantion a absolvit.

Tabelul cu variabilele din ecuație (Variables in the Equation) conține coeficienții. Fiecare predictor are un B, o eroare standard, o statistică Wald, grade de libertate, o valoare p și Exp(B). Coeficientul B e în unități de logaritm al șanselor, greu de interpretat direct. Exp(B) este raportul șanselor și este cifra pe care se vor uita cei mai mulți cititori și coordonatori.

Cum înțelegi raportul șanselor (Exp(B))

Raportul șanselor e cel mai important număr din rezultatele unei regresii logistice. Un raport al șanselor de 1,00 înseamnă că predictorul nu are niciun efect asupra șanselor rezultatului. Peste 1,00 înseamnă șanse crescute. Sub 1,00 înseamnă șanse scăzute.

Valoare Exp(B)	Ce înseamnă	Exemplu
1,00	Niciun efect asupra șanselor	Genul nu are legătură cu absolvirea
1,50	Creștere de 50% a șanselor	Fiecare punct în plus la medie crește șansele de absolvire cu 50%
2,34	Creștere de 134% a șanselor	Studenții care merg la meditații au de 2,34 ori șansele de a promova
0,72	Scădere de 28% a șanselor	Fiecare curs lipsit în plus scade șansele de promovare cu 28%
0,45	Scădere de 55% a șanselor	Studenții care lucrează cu normă întreagă au de 0,45 ori șansele de a absolvi

O sursă frecventă de confuzie: șansele nu sunt probabilități. Dacă 80 din 100 de studenți absolvă, probabilitatea e 0,80, dar șansele sunt 80/20 = 4,0. Un raport al șanselor de 2,0 înseamnă că șansele se dublează, ceea ce nu înseamnă că probabilitatea se dublează. Când rata de bază e mică (să zicem 5%), șansele și probabilitățile sunt apropiate. Când rata de bază e mare, se despart brusc. Raportează întotdeauna raportul șanselor ca atare, niciodată ca „de două ori mai probabil”, decât dacă ai calculat efectiv schimbarea de probabilitate.

Exemplu lucrat: prezicerea absolvirii

Să presupunem că ai date de la 200 de studenți. Rezultatul e statutul de absolvire (1 = absolvit, 0 = abandonat). Predictorii tăi sunt media cumulată (continuă, de la 1,0 la 10,0) și numărul de ore de studiu pe săptămână (continuu, de la 2 la 35). Rulezi analiza în SPSS prin Analyze > Regression > Binary Logistic, punând absolvirea ca variabilă dependentă, iar media și orele de studiu la covariate.

Testul omnibus întoarce χ²(2) = 34,17, p < 0,001. Bine. Modelul bate modelul nul. Hosmer-Lemeshow dă χ²(8) = 6,42, p = 0,601. Modelul se potrivește cu datele. R² Nagelkerke = 0,284, adică modelul prinde cam 28% din variația verosimilității. Tabelul de clasificare arată 78,0% acuratețe globală (89,2% pentru absolvenți, 58,3% pentru cei care au abandonat).

Tabelul cu variabilele din ecuație arată: media are B = 1,63, Wald = 18,72, p < 0,001, Exp(B) = 5,10. Orele de studiu au B = 0,08, Wald = 5,94, p = 0,015, Exp(B) = 1,08. Constanta e B = −6,21. Ambii predictori sunt semnificativi. Pentru medie, raportul șanselor de 5,10 înseamnă că, la fiecare punct în plus la medie, șansele de absolvire cresc de 5,10 ori, la ore de studiu constante. Pentru orele de studiu, fiecare oră în plus pe săptămână crește șansele de 1,08 ori, adică vreo 8%, la medie constantă.

În format APA, ai raporta așa: s-a aplicat o regresie logistică binară pentru a examina efectul mediei și al orelor de studiu săptămânale asupra probabilității de absolvire. Modelul a fost semnificativ statistic, χ²(2) = 34,17, p < 0,001, R² Nagelkerke = 0,28. Modelul a clasificat corect 78,0% dintre cazuri. Media a fost un predictor semnificativ al absolvirii, b = 1,63, Wald χ²(1) = 18,72, p < 0,001, OR = 5,10, IÎ 95% [2,47, 10,53]. Orele de studiu săptămânale au prezis și ele semnificativ absolvirea, b = 0,08, Wald χ²(1) = 5,94, p = 0,015, OR = 1,08, IÎ 95% [1,02, 1,15]. Dacă vrei ca aplicația Academic Stats Agent să scrie această formulare direct din datele tale, încarci fișierul și alegi regresia logistică.

Greșeli de evitat

Cea mai dăunătoare greșeală e să aplici regresie liniară pe un rezultat binar. O vedem cam la 1 din 10 ciorne care ne ajung la verificare. Studentul regresează o variabilă 0/1 pe trei predictori din meniul obișnuit al regresiei liniare și raportează R² = 0,31, F(3, 196) = 29,41, p < 0,001. Cifrele arată curat. Comisia poate să nu prindă greșeala. Dar modelul e fundamental greșit: presupune un rezultat continuu, produce predicții nemărginite și încalcă toate condițiile de distribuție. Soluția e simplă. Dacă variabila dependentă are exact două categorii, folosește regresia logistică binară; iar dacă nu ești sigur ce test ți se potrivește, pornește de la ghidul de alegere a testului.

Ignorarea multicoliniarității e a doua problemă mare. Dacă doi predictori corelează la r = 0,85 sau mai mult, erorile standard ale coeficienților B se umflă, iar testul Wald devine nesigur. Un predictor care chiar contează ar putea arăta p = 0,22 doar fiindcă împarte prea multă varianță cu altul. Înainte de regresia logistică, verifică o matrice de corelații a tuturor predictorilor. Dacă vreo pereche depășește r = 0,80, gândește-te să scoți unul sau să-i combini într-un scor compus.

Suprainterpretarea R²-ului Nagelkerke e a treia capcană. Studenții obișnuiți cu regresia liniară așteaptă R² = 0,70 sau mai mult ca să considere un model bun. La regresia logistică, valorile R² Nagelkerke peste 0,40 sunt rare în cercetarea comportamentală. Un 0,25 nu înseamnă că modelul e slab. Înseamnă că predictorii acoperă o parte relevantă din variația verosimilității, iar acuratețea de clasificare și rapoartele șanselor pot spune totuși o poveste solidă. Judecă modelul după tabloul complet: semnificația testului omnibus, o potrivire Hosmer-Lemeshow acceptabilă, o acuratețe de clasificare rezonabilă și rapoarte ale șanselor consistente, cu intervale de încredere strânse.